哈密顿量的引入#
哈密顿量是物理学中一个非常重要的概念，特别是在经典力学和量子力学。它代表一个系统的总能量（动能+势能），换言之它是一个系统总能量的表达式，而且可以描述系统随时间演化的过程
从高中的经典力学角度(这里的势能我们只考虑重力势能): $$ H=mgh+\frac{1}{2}mv^2 $$ 其实，哈密顿量本来就是用来表述经典力学的，这原理后来也应用于经典场，像电磁场或者重力场，甚至可以延伸至量子场论等。
哈密顿量的意义：
- 本征态/本征值的意义：在量子力学的框架下，哈密顿量的本征值对应于系统可能的能量水平，而本征态则是这些能量水平的量子态
- 时间演化：根据薛定谔方程，量子系统的波函数随时间的演化与哈密顿量紧密相关。这意味着，知道了一个系统的哈密顿量，就可以预测其在任意时刻的状态
在量子编程中的使用：
- 量子算法的设计：专门用来求目标函数的最小值，目标函数可以作为哈密顿量
- 量子模拟：量子模拟是利用量子计算机来模拟复杂量子系统的演化。哈密顿量是量子模拟的核心，因为它是描述系统演化的关键。通过精确地构造和演化哈密顿量，可以模拟分子结构、材料性质和量子场论等问题。
- 量子优化：哈密顿量通常用于编码问题的代价函数。例如，在量子近似优化算法（QAOA）中，目标哈密顿量 HPHP 编码了问题的优化目标，而驱动哈密顿量 HDHD 用于生成初始态。通过交替应用这两个哈密顿量，可以找到问题的最优解。
哈密顿量（哈密顿算符）#
时间相关的薛定谔方程#
时间相关的薛定谔方程适用于系统的波函数随时间变换的情况，其数学表达式为 $$ i\hbar\frac\partial{\partial t}\varphi(r,t)=\hat{H}\varphi(r,t) $$
- i是虚数单位
- ℏ是约化普朗克常数（即普朗克常数\(6.62607015×10^{−34}\)除以\(2\pi\))
- \(\varphi(r,t)\)是系统的波函数，描述了系统在位置r和时间t的状态
- \(\hat{H}\)是哈密顿算符，代表系统的总能量，包括动能和势能
可以得到初态到末态的演化： $$ |\varphi(t)>=e^{-iHt}|\varphi(0)> $$
进一步推算#
我们对矩阵做特征分解：\(e^{-iHt}=U^{\top}e^{-i\bigwedge t}U\)
- U为H的特征向量组成的矩阵
- \(\bigwedge\)为特征值在对角线排列组成的对角阵
哈密顿量在量子电路门中的表示#
需要用到的量子电路门:
\[
I=\begin{bmatrix} 1 & \\ & 1 \end{bmatrix}\quad X=\begin{bmatrix} & 1 \\ 1 & \end{bmatrix}\quad
R_z(\theta)=\begin{bmatrix} 1 & \\ & e^{i\theta} \end{bmatrix}\quad
H=\frac{\sqrt{2}}{2}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}\quad
R_x(t)=\begin{bmatrix} cos(t) & -isin(t) \\ -isin(t) & cos(t) \end{bmatrix}\]
示例#
单位阵的表示#
\[e^{-iIt}=R_z(-t)XR_z(-t)X\]
pauli-X 阵#
首先对\(e^{-iHt}=U^{\top}e^{-i\bigwedge t}U\)，对\(X\)进行正交分解，得到的特征向量组成的矩阵正好等于哈达玛门\(H\) 有下式： $$ e^{-iXt}=HXR_z (-t)XR_z(t)H $$
哈密顿量的可加性#
已知\(H=\begin{bmatrix} 0.5 & 0.1667 \\ 0.1667 & 0.5 \end{bmatrix}\) 容易得出\(H=0.5I+0.1667H\) 矩阵的指数函数有两种情况：
- 如果两个哈密顿量\(A,B\)对易，那么\(AB=BA\)有：\(e^{-i(A+B)t}=e^{-iAt}e^{-iBt}\)
- 若不对易\(e^{-i(A+B)t}=\lim_{m->\infty}(e^{-iAt/m}e^{-iBt/m})^m\)